根號2與A4

無理數是指無法用兩個整數以分數形式來表示的實數；白話來說，就是那些拖著一長串無邊無盡接在小數點尾巴以後的那個玩意兒。

 

英文稱無理數為irrational number。irrational是rational的反義字，意思是說情緒上陰晴不定理智上不講道理。用irrational來稱呼無理數，正好反映這些小數點後不規律出現、無規律可尋的數字，形容得適得其所。

 

以根號2 為例。根號2 為一個無理數1.41421356…，小數點以後跟著一串尾巴，而且不重複。這樣的無理數對我們有什麼意義呢 ?意義就在辦公室裏常用的A4影印紙。

 

你有這樣的經驗嗎? 將兩張A4文件長邊貼長邊，一起縮小影印在另一張A4紙上；或是一半大小的A4文件放大影印後，還原成剛好A4大小尺寸。

 

如此湊巧的原因，在於放在一起的紙張，其寬度與長度的比例相同。假設寬度為1長度為a的紙張，以長邊為中點對折縮小一半後，寬與長變成了a/2與1。因為縮小後比例相同，所以1:a=a/2:1，a² =1，得出a=根號2。A4的寬度是210公厘，長297公厘，刪除小數取其整數，長度剛好為寬度的根號2 倍。

 

比A4尺寸小的紙張，依序有A5、A6、A7、A8等級；比A4大的有A3、A2、A1、A0等級。一張｢全開｣A0的紙張，做不同次數的對折，可以得到大小不同但寬長比例皆相同的紙張。

 

無理，反而才有道理。